The Unimodular Lattices of Dimension up to 23 and the Minkowski-Siegel Mass Constants

In an earlier paper we enumerated the integral lattices of determinant one and dimension not exceeding 20. The present paper extends this enumeration to dimension 23, finding 40 lattices of dimension 21, 68 of dimension 22, and 117 of dimension 23. We also give explicit formulae for the Minkowski-Siegel mass constants for unimodular lattices (apparently not stated correctly elsewhere in the literature) and an exact table of the mass constants up to 32 dimensions, which provided a valuable check on our enumeration

Conformal Field Theories, Representations and Lattice Constructions

An account is given of the structure and representations of chiral bosonic meromorphic conformal field theories (CFT's), and, in particular, the conditions under which such a CFT may be extended by a representation to form a new theory. This general approach is illustrated by considering the untwisted and $Z_2$-twisted theories, $H(\Lambda)$ and $\tilde H(\Lambda)$ respectively, which may be constructed from a suitable even Euclidean lattice $\Lambda$. Similarly, one may construct lattices $\Lambda_C$ and $\tilde\Lambda_C$ by analogous constructions from a doubly-even binary code $C$. In the case when $C$ is self-dual, the corresponding lattices are also. Similarly, $H(\Lambda)$ and $\tilde H(\Lambda)$ are self-dual if and only if $\Lambda$ is. We show that $H(\Lambda_C)$ has a natural ``triality'' structure, which induces an isomorphism $H(\tilde\Lambda_C)\equiv\tilde H(\Lambda_C)$ and also a triality structure on $\tilde H(\tilde\Lambda_C)$. For $C$ the Golay code, $\tilde\Lambda_C$ is the Leech lattice, and the triality on $\tilde H(\tilde\Lambda_C)$ is the symmetry which extends the natural action of (an extension of) Conway's group on this theory to the Monster, so setting triality and Frenkel, Lepowsky and Meurman's construction of the natural Monster module in a more general context. The results also serve to shed some light on the classification of self-dual CFT's. We find that of the 48 theories $H(\Lambda)$ and $\tilde H(\Lambda)$ with central charge 24 that there are 39 distinct ones, and further that all 9 coincidences are accounted for by the isomorphism detailed above, induced by the existence of a doubly-even self-dual binary code.Comment: 65 page

A new Euclidean tight 6-design

We give a new example of Euclidean tight 6-design in $\mathbb R^{22}$.Comment: 9 page

On the Relationship between the Uniqueness of the Moonshine Module and Monstrous Moonshine

We consider the relationship between the conjectured uniqueness of the Moonshine Module, ${\cal V}^\natural$, and Monstrous Moonshine, the genus zero property of the modular invariance group for each Monster group Thompson series. We first discuss a family of possible $Z_n$ meromorphic orbifold constructions of ${\cal V}^\natural$ based on automorphisms of the Leech lattice compactified bosonic string. We reproduce the Thompson series for all 51 non-Fricke classes of the Monster group $M$ together with a new relationship between the centralisers of these classes and 51 corresponding Conway group centralisers (generalising a well-known relationship for 5 such classes). Assuming that ${\cal V}^\natural$ is unique, we then consider meromorphic orbifoldings of ${\cal V}^\natural$ and show that Monstrous Moonshine holds if and only if the only meromorphic orbifoldings of ${\cal V}^\natural$ give ${\cal V}^\natural$ itself or the Leech theory. This constraint on the meromorphic orbifoldings of ${\cal V}^\natural$ therefore relates Monstrous Moonshine to the uniqueness of ${\cal V}^\natural$ in a new way.Comment: 53 pages, PlainTex, DIAS-STP-93-0

Використання словникових технологій у процесі вивчення іноземних мов

Методичні рекомендації щодо використання словникових технологій складаються з теоретичної і прикладної частин. Теоретична частина подає характеристики основних типів словників і рекомендації щодо користування ними. Прикладна частина містить добірку завдань з основних видів робіт з урахуванням тем навчальних програм для студентів різних спеціальностей денної та заочної форми навчання, які володіють основами граматики, необхідним лексичним запасом для розуміння запропонованого матеріалу й навичками усного мовлення. Рекомендуються для використання на практичних заняттях, а також для самостійної роботи студентів із залученням словників різних типів. Ці методичні рекомендації розроблені з метою надання методичної допомоги викладачам і студентам у процесі роботи зі словником під час вивчення іноземних мов. Книга включає безліч пропозицій для формування вмінь і навичок роботи зі словником на заняттях і під час самостійної роботи. Теоретична частина написана українською мовою та подає роз’яснення особливостей словників різних типів, способів їх використання й умови оптимального вибору словника. Прикладна частина на матеріалі англійської мови пропонує основні види роботи зі словником, спрямовані на формування вмінь і навичок правильної вимови, читання, письма, граматики, перекдау, а також збагаченя власного словникового запасу. Для кожного виду роботи зі словником підібрано п’ять завдань по темах робочих програм з навчальної дисципліни “Англійська мова” для студентів вищих навчальних закладів. Крім того, запропоновані матеріали розкривають такі теми, як сполученя слів, фразові дієслова, ідіоми та словотворення. Види роботи зі словником спрямовані на використання не тільки традиційних паперових, а й електронних та інших нестандартних спеціалізованих словників. Матеріал цих рекомендацій може бути використаний як джерело навчальної та практичної інформації для викладачів і студентів різних спеціальностей. Автор сподівається, що методичні рекомендації будуть цінними для будь-якого користувача, який хоче поліпшити своє особисте знання словника

Can a Lattice String Have a Vanishing Cosmological Constant?

We prove that a class of one-loop partition functions found by Dienes, giving rise to a vanishing cosmological constant to one-loop, cannot be realized by a consistent lattice string. The construction of non-supersymmetric string with a vanishing cosmological constant therefore remains as elusive as ever. We also discuss a new test that any one-loop partition function for a lattice string must satisfy.Comment: 14 page

A Dense Packing of Regular Tetrahedra

We construct a dense packing of regular tetrahedra, with packing density $D > >.7786157$.Comment: full color versio

How to obtain a lattice basis from a discrete projected space

International audienceEuclidean spaces of dimension n are characterized in discrete spaces by the choice of lattices. The goal of this paper is to provide a simple algorithm finding a lattice onto subspaces of lower dimensions onto which these discrete spaces are projected. This first obtained by depicting a tile in a space of dimension n -- 1 when starting from an hypercubic grid in dimension n. Iterating this process across dimensions gives the final result

Infinitesimals without Logic

We introduce the ring of Fermat reals, an extension of the real field containing nilpotent infinitesimals. The construction takes inspiration from Smooth Infinitesimal Analysis (SIA), but provides a powerful theory of actual infinitesimals without any need of a background in mathematical logic. In particular, on the contrary with respect to SIA, which admits models only in intuitionistic logic, the theory of Fermat reals is consistent with classical logic. We face the problem to decide if the product of powers of nilpotent infinitesimals is zero or not, the identity principle for polynomials, the definition and properties of the total order relation. The construction is highly constructive, and every Fermat real admits a clear and order preserving geometrical representation. Using nilpotent infinitesimals, every smooth functions becomes a polynomial because in Taylor's formulas the rest is now zero. Finally, we present several applications to informal classical calculations used in Physics: now all these calculations become rigorous and, at the same time, formally equal to the informal ones. In particular, an interesting rigorous deduction of the wave equation is given, that clarifies how to formalize the approximations tied with Hook's law using this language of nilpotent infinitesimals.Comment: The first part of the preprint is taken directly form arXiv:0907.1872 The second part is new and contains a list of example